Základní pojmy o množinách

Množina je prostě soubor prvků, které něco spojuje. Zapisuje se do složených závorek - například P = {1, 2, 4, 6, 8}. Je úplně jedno, v jakém pořadí prvky napíšeš.

Když chceš říct, že nějaké číslo patří do množiny, použiješ symbol ∈. Takže pokud x je prvkem množiny M, napíšeš x ∈ M.

Prázdná množina je taková, která nemá žádný prvek - značí se ∅ nebo {}. Je to jako prázdná krabice.

Podmnožina A je část množiny B (zapisuje se A ⊂ B), když každý prvek z A najdeš i v B. Například pokud A = {2, 3} a B = {1, 2, 3, 4}, pak A ⊂ B. Zajímavost: každá množina je podmnožinou sama sebe!

Tip: Množiny si představuj jako kruhy - podmnožina je menší kruh uvnitř většího.

Značení a příklady množin

Množiny můžeš zapisovat různými způsoby. Buď vyjmenuješ všechny prvky, nebo použiješ popis vlastnosti prvků.

Například můžeš napsat A = {1, 2, 3, 4} nebo A = {x ∈ ℕ; x ≤ 4}. Oba zápisy znamenají totéž.

Některé množiny jsou nekonečné - jako množina všech přirozených čísel ℕ = {1, 2, 3, 4, ...}. Ty se zapisují pomocí podmínek.

Pozor: Každý prvek se v množině počítá jen jednou, i kdybys ho napsal víckrát.

Rovnost množin a základní operace

Dvě množiny se rovnają, když obsahují přesně ty samé prvky. Nezáleží na pořadí! Takže A = {2, 4} a B = {4, 2} jsou stejné množiny.

Množiny A a B se rovnají tehdy, když platí současně A ⊂ B i B ⊂ A. To je vlastně logické - každá je podmnožinou té druhé.

Doplněk množiny A v množině B obsahuje všechny prvky z B, které nejsou v A. Je to jako když z velké krabice B vyhodíš všechno, co je už v krabici A.

Zapamatuj si: Rovnost množin nezávisí na pořadí prvků - důležité je jen to, jaké prvky množina obsahuje.

Sjednocení a průnik množin

Sjednocení množin A ∪ B obsahuje všechny prvky, které jsou buď v A, nebo v B, nebo v obou. Je to jako když vysypeš dvě krabice do jedné velké.

Průnik množin A ∩ B obsahuje jen prvky, které jsou současně v A i v B. Najdeš v něm pouze to, co mají množiny společné.

Příklad: A = {-5, 0, 3, 4}, B = {0, 1, 2, 3}

• A ∪ B = {-5, 0, 1, 2, 3, 4} (všechno dohromady)
• A ∩ B = {0, 3} (jen společné prvky)

Pro nekonečné množiny to funguje stejně. Pokud A = {x ∈ ℤ; x ≥ 0} a B = {x ∈ ℤ; x ≤ 0}, pak A ∩ B = {0}, protože nula je jediné číslo, které je současně nezáporné i nekladné.

Tip na testy: Při hledání průniku si vždy označ společné prvky - je to nejrychlejší způsob.