Množiny a jejich typy

Množina je prostě soubor prvků - můžeš si ji představit jako krabici s věcmi. Značíme ji složenými závorkami {1, 2, 3} nebo písmeny jako A, B. Když prvek do množiny patří, píšeme 1∈A, když nepatří, tak 3∉A.

Existují čtyři hlavní typy číselných množin, které musíš znát. Přirozená čísla N jsou ta, se kterými počítáš od malička (1, 2, 3...). Celá čísla Z už obsahují i záporná $-3, -1, 0, 5$. Racionální čísla Q jsou všechna čísla, která můžeš napsat jako zlomek $2/3, 0,75$. Reálná čísla R zahrnují úplně všechna čísla včetně π nebo √2.

Tip: Zapamatuj si, že každá menší množina je obsažena v té větší: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

Prázdná množina { } nebo Ø neobsahuje žádný prvek - je to jako prázdná krabice. S množinami můžeš dělat různé operace jako sjednocení A∪B (všechno dohromady), průnik A∩B (jen společné prvky) nebo rozdíl A\B (co je v A, ale není v B).

Vennovy diagramy a intervaly

Vennovy diagramy jsou tvůj kámoš při řešení slovních úloh s množinami. Nakreslíš si kruhy pro každou množinu a vyplníš, kolik prvků je v každé části. Například když má třída 32 žáků, 12 hraje fotbal a 15 tenis, snadno zjistíš, kolik jich hraje oba sporty.

Intervaly používáš, když chceš popsat rozmezí čísel na číselné ose. Hranaté závorky ⟨a;b⟩ znamenají, že krajní body patří do intervalu (uzavřený). Kulaté závorky (a;b) znamenají, že krajní body nepatří (otevřený).

Pozor: V intervalech je vždy menší číslo vlevo! Píšeš (1;4), ne (4;1).

S intervaly děláš stejné operace jako s množinami. Průnik A∩B ti dá společnou část intervalů, sjednocení A∪B spojí celé intervaly dohromady. Když si to nakreslíš na číselnou osu, hned vidíš výsledek.

Výroková logika

Výrok je každé tvrzení, o kterém můžeš rozhodnout, jestli je pravdivé nebo nepravdivé. "Dnes prší" je výrok, "Jak se máš?" není. S výroky můžeš dělat logické operace, které fungují podle jasných pravidel.

Konjunkce a∧b znamená "a zároveň b" - pravdivá jen když jsou oba výroky pravdivé. Disjunkce a∨b znamená "a nebo b" - pravdivá když alespoň jeden výrok je pravdivý. Implikace a⇒b říká "jestliže a, pak b" - nepravdivá jen když a je pravda a b je nepravda.

Kvantifikované výroky pracují s pojmy jako "alespoň", "právě" nebo "nejvýše". Když negujesh "alespoň 5 studentů", dostaneš "nejvýše 4 studenty". Negace otočí nerovnost na opačnou stranu.

Zapamatuj si: Negace "alespoň n" je "nejvýše n-1" a naopak!